---
title: "Lagrangian Neural Networks"
title_ru: "Лагранжевы нейронные сети"
authors: [Cranmer, Greydanus, Hoyer, Battaglia, Spergel, Ho]
year: 2020
venue: "ICLR Workshop"
venue_tier: "workshop"
doi: "2003.04630"
tags: [physics_informed, lagrangian, energy_conservation, inductive_bias, symplectic]
relevance_to_smartrep: 2
direction: "🅲"
---

# Lagrangian Neural Networks: Физически-структурированные нейросети

## TL;DR (≤3 предложения)

Lagrangian Neural Networks (LNN) встраивают принцип наименьшего действия (Lagrangian mechanics) как structural inductive bias: нейросеть параметризует Lagrangian $\mathcal{L}(q, \dot{q})$, из которого аналитически выводятся уравнения движения через уравнения Эйлера-Лагранжа. Гарантированно сохраняет энергию и симплектическую структуру. Для SmartRep: концептуальная основа для physics-informed motion representation с гарантированной биомеханической согласованностью.

## Проблема

Стандартные нейросети нарушают физические законы (энергия не сохраняется, симплектическая структура теряется). При моделировании движения человека это ведёт к нефизическим траекториям. Нужна архитектура с физической структурой по построению.

## Гипотеза / вклад

- **Lagrangian параметризация:** $\mathcal{L}(q, \dot{q}) = T(q, \dot{q}) - V(q)$ — кинетическая минус потенциальная энергия. Нейросеть $f_\theta$ параметризует $\mathcal{L}$.
- **Уравнения Эйлера-Лагранжа:** из $\mathcal{L}$ аналитически: $\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q} = 0$ → уравнения движения.
- **Энергосохранение:** гарантировано по построению.

## Метод

Нейросеть: $\hat{\mathcal{L}}_\theta(q, \dot{q}) \in \mathbb{R}$ — скалярная функция.

Уравнения движения через AD (automatic differentiation):

$$\ddot{q} = \left(\frac{\partial^2 \mathcal{L}}{\partial \dot{q}^2}\right)^{-1} \left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q} - \frac{\partial^2 \mathcal{L}}{\partial \dot{q} \partial q} \dot{q}\right)$$

Обучение: предсказать $\ddot{q}$ из $(q, \dot{q})$, MSE loss против GT acceleration.

## Датасеты

| Система | Метрика | LNN | Baseline NN |
|---|---|---|---|
| Double pendulum | Energy drift | ~0 (conserved) | Растёт |
| Spring-mass | Trajectory MSE | 2.1 | 8.4 |

## Сравнение с SOTA

Превосходит Hamiltonian NN (HNN) на системах с нелинейной метрикой (where H≠T+V). Гарантированное энергосохранение vs empirical у HNN.

## Ограничения / слабости

- Требует знания обобщённых координат $q$ системы — для тела человека это суставные углы (определяемые).
- Нет нативного friction или dissipation — тело человека не консервативная система.
- Вычисление второй производной через AD дорогостоящее.
- Workshop paper — меньше экспериментальной глубины.

## Релевантность SmartRep

- **Biomechanical motion model 🅲:** суставные углы $\theta$ как обобщённые координаты $q$, угловые скорости $\dot{\theta}$ как $\dot{q}$ → LNN параметризует биомеханический Lagrangian тела при упражнении.
- **Физически-правдоподобный prior:** LNN-prior учит "физически возможные" движения тела. Отклонение от LNN-предсказанной траектории = физически невозможное движение = ошибка техники.
- **Энергетический аспект:** энергия движения (кинетическая + потенциальная) как scalar metric качества упражнения — например, неэффективное движение тратит лишнюю энергию.

## Gap для нас

LNN не применялись к человеческому телу с 53+ суставами и с dissipation (мышечная активность). **Ниша SmartRep:** Dissipative LNN для упражнений — расширить LNN с Rayleigh dissipation function для моделирования мышечной работы: $\mathcal{L}^* = T - V - D(\dot{q})$, где $D$ — диссипативная функция (мышечный effort). Позволяет разделить "ошибку технику" и "избыточный мышечный effort".

## Код / данные

- Repo: github.com/MilesCranmer/lagrangian-neural-network
- Pretrained: нет

## Цитата (BibTeX)

```bibtex
@article{cranmer2020lagrangian,
  title={Lagrangian Neural Networks},
  author={Cranmer, Miles and Greydanus, Sam and Hoyer, Stephan and Battaglia, Peter and Spergel, David and Ho, Shirley},
  journal={arXiv preprint arXiv:2003.04630},
  year={2020}
}
```
